mariaaa96 / tarea3

Universidad de Costa Rica

Escuela de ingeniería Eléctrica

Modelos Probabilísticos de Señales y Sistemas IE-0405

Tarea #3

Elaborada por María Cordero A. (B42016)

1. A partir de los datos, encontrar la mejor curva de ajuste (modelo probabilístico) para las funciones de densidad marginales de X y Y.

A partir de las gráficas obtenidas en la parte 4, se pudo observar que ambas se acercan a curvas gaussianas, por lo que se describirán como tal. Para obtener las curvas de mejor ajuste, se obtuvo el valor de la media, amplitud y desviación estándar, las cuales son:

• Para x:
  • Media: 10.0
  • Desviación estándar:3.1691447207203343 $\approx$ 3.17
  • Amplitud: 0.12588326364305466 $\approx$ 0.13
• Para y:
  • Media: 15.0
  • Desviación estándar: 6.068450128041075 $\approx$ 6.07
  • Amplitud: 0.06574039037710823 $\approx$ 0.066

Al revisar los valores de las curvas de mejor ajuste, se encuentra que son similares, como se muestra a continuación:

• Para x:
  • Media: 9.88371412
  • Desviación estándar:3.1691447207203343
  • Amplitud: 0.12178123
• Para y:
  • Media: 15.08746267
  • Desviación estándar: 6.77905397
  • Amplitud: 0.06640209

Como se puede haber, hubo variaciones entre los resultados, lo cual se puede atribuir a la definición de la función, pero se acercan lo suficiente para confirmar que son distribuciones gaussianas.

2. Asumir independencia de X y Y. Analíticamente, ¿cuál es entonces la expresión de la función de densidad conjunta que modela los datos?

Se obtiene entonces para X la siguiente función marginal:
$F_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi 10.04}} e^{\frac{-(x-10)^2}{2 \cdot 10.04}} \approx 0.13\cdot e^{\frac{-(x-10)^2}{20.08}}$

Por otro lado, para Y será de la forma:
$F_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi 36.83}} e^{\frac{-(x-15)^2}{2 \cdot 36.83}} \approx 0.066 \cdot e^{\frac{-(x-15)^2}{73.66}}$

Finalmente, la función de densidad conjunta será:
$F_{X,Y}(x,y)=0.13\cdot e^{\frac{-(x-10)^2}{20.08}} \cdot 0.066 \cdot e^{\frac{-(x-15)^2}{73.66}}= 0.00858 e^{\frac{-(x-10)^2}{20.08}+\frac{-(x-15)^2}{73.66}} $

3. Hallar los valores de correlación, covarianza y coeficiente de correlación (Pearson) para los datos y explicar su significado.

Se obtuvo entonces:

• Correlación: Dió un valor de 149.54281 dada la definición para valores discretos, lo cual se considera que es muy alto, por lo que se puede asumir que están altamente correlacionados.
• Covarianza: Se obtuvo un valor de 0.06481, lo cual se dice que está cercano a cero, por lo que se dice que la variación que experimentan ambas variables es independiente una de la otra.
• Coeficiente de correlación: Se observa que fue de 0.00337, es decir, muy cercano a cero, por lo que se dice que ante cambios de una de las variables, la otra no va a reaccionar a éstos (Levine, Krehbiel, Berenson, 2006).

Graficar las funciones de densidad marginales (2D), la función de densidad conjunta (3D).

Las gráficas se pueden observar en el código denominado Tarea_3_B42016.

Bibliografía

• Berenson, M., Levine, D. y Krehbiel, T. (2006). Estadística para administración. Pearson Educación.