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NDG-FEM

NDG-FEM (Nodal Discontinuous Galerkin Finite Element Methods) 是采用Matlab语言建立的节点间断伽辽金有限元函数库，其采用NDG方法对微分方程进行离散，具有高阶精度、可利用非结构化网格计算等特点。此外，由于格式具有紧致性，其优点同时包括易于并行化，适用hp自适应加密等优势。

Matlab作为广泛应用于科学计算商业软件，其不仅包含高效矩阵计算函数库，同时还有丰富的可视化工具。根据Matlab语言特性，模型采用NDG方法与无积分方法结合，使离散方程为矩形与向量乘积形式，在计算体积分与面积分时也皆采用矩阵形式计算来提高模拟效率。

Features

NDG-FEM模型特点包括

• 采用Matlab面向对象语言编写，将单元、网格、计算物理场各个模块相互分离，并提高代码重用性；
• 模型包括多种标准单元，如线单元（一维），三角形（二维）、四边形单元（二维）；
• 模型包含多种水动力问题求解器，包括对流扩散方程（一维、二维），浅水方程（一维、二维）
• 模型采用矩阵形式计算体积分与面积分，有效提高了计算效率；

Usages

建立一个简单的对流方程求解器包括以下几个主要步骤；

1. 建立标准单元对象； 调用标准三角形类ndg_lib/std_cell/tri，生成二阶三角形对象

>> tri = ndg_lib.std_cell.tri(2)

tri =

  tri with properties:

           N: 2
        type: Tri
          Nv: 3
         vol: 2
          vr: [3x1 double]
          vs: [3x1 double]
          vt: [3x1 double]
         Nfv: [2 2 2]
        FToV: [2x3 double]
       Nface: 3
    faceType: [Line    Line    Line]
          Np: 6
           r: [6x1 double]
           s: [6x1 double]
           t: [6x1 double]
           V: [6x6 double]
           M: [6x6 double]
          Dr: [6x6 double]
          Ds: [6x6 double]
          Dt: [6x6 double]
       Fmask: [3x3 double]
         Nfp: [3 3 3]
    Nfptotal: 9
        LIFT: [6x9 double]

2. 根据网格数据建立网格对象 网格文件位置Conv2D/mesh/，包含文件包括

.
├── triangle.edge   # 边界文件
├── triangle.ele    # 单元文件
└── triangle.node   # 顶点文件

调用三角形网格类 ndg_lib/mesh/生成对应网格对象

>> casename = 'Conv2D/mesh/triangle';
>> mesh = ndg_lib.mesh.tri_mesh(tri, casename)

In function read_from_file

finish read node file:
-- Conv2D/mesh/triangle.node
Nv =  556

finish read element file:
-- Conv2D/mesh/triangle.ele
K =  1030

finish read boundary file:
-- Conv2D/mesh/triangle.edge


mesh =

  tri_mesh with properties:

        cell: [1x1 ndg_lib.std_cell.tri]
           K: 1030
          Nv: 556
        EToV: [3x1030 double]
        EToR: [1x1030 double]
       EToBS: [3x1030 uint8]
          vx: [556x1 double]
          vy: [556x1 double]
          vz: [556x1 double]
        EToE: [3x1030 double]
        EToF: [3x1030 double]
           x: [6x1030 double]
           y: [6x1030 double]
           z: [6x1030 double]
          rx: [6x1030 double]
          ry: [6x1030 double]
          rz: [6x1030 double]
          sx: [6x1030 double]
          sy: [6x1030 double]
          sz: [6x1030 double]
          tx: [6x1030 double]
          ty: [6x1030 double]
          tz: [6x1030 double]
           J: [6x1030 double]
        eidM: [9x1030 double]
        eidP: [9x1030 double]
     eidtype: [9x1030 uint8]
    eidfscal: [9x1030 double]
          nx: [9x1030 double]
          ny: [9x1030 double]
          nz: [9x1030 double]
          Js: [9x1030 double]
       Nedge: 1585
       Nnode: 4755
          kM: [1585x1 double]
          kP: [1585x1 double]
          fM: [1585x1 double]
          fP: [1585x1 double]
       ftype: [1585x1 uint8]
         idM: [4755x1 double]
         idP: [4755x1 double]
         fpM: [4755x1 double]
         fpP: [4755x1 double]
       fscal: [4755x1 double]
        fnxM: [4755x1 double]
        fnyM: [4755x1 double]
        fnzM: [4755x1 double]

3. 利用三角形网格对象生成二维对流求解器对象

>> solver = conv2d_rotation(mesh)

solver =

  conv2d_rotation with properties:

      Nfield: 1
         cfl: 0.3000
       ftime: 2.4000
          dt: 0.0042
           u: [6x1030 double]
           v: [6x1030 double]
        mesh: [1x1 ndg_lib.mesh.tri_mesh]
      f_extQ: [6x1030 double]
    obc_file: []
    out_file: []
         f_Q: [6x1030 double]

生成求解器后，可以通过对象的set_obc_file与set_out_file等方法设定开边界文件与输出文件（NetCDF格式），最终调用RK45_solve对方程进行求解。

>> tic; solver.RK45_solve; toc
Elapsed time is 3.208880 seconds.

调用draw(1)查看计算场分布图像

Acknowledgment

This software is inspired by Nodal Discontinuous Galerkin Methods Algorithms, Analysis, and Applications Texts in Applied Mathematics (Hesthaven and Tim Warburton, 2008), please refer to NodalDG for more details.