krasjet / quaternion

A brief introduction to the quaternions and its applications in 3D geometry.

四元数与三维旋转

简单地讲了一下四元数在计算机图形学中的应用，除此之外在 Bonus 章节中也讨论了一下 Gimbal Lock 的产生。

文档本身可以在这里找到：https://krasjet.github.io/quaternion/

Bonus 章节—Gimbal Lock：https://krasjet.github.io/quaternion/bonus_gimbal_lock.pdf

很久之前写的，所以错误可能会有很多。如果你发现有任何的错误或者对内容有建议，请到Issues中报告。

Demo

在demo目录下你可以找到一些演示用的 MATLAB 代码。因为 MATLAB 不是免费的软件，所以我将每个动画都输出成了 GIF，你可以进入各个 Demo 的目录中观看（流量预警）。你也可以使用免费的 Octave 运行代码，但是性能可能不是很好。

更新

• 8/17/2020：大幅度的排版修正
• 2/18/2019：添加了第九章「附录 2：左手坐标系统下的旋转」
• 2/25/2019：重写了第二章的开头

Some other stuff

If you like my works, you might also enjoy reading these:

• julia as a cli calculator
• Poisson summation formula, revisited

quaternion's Issues

勘误

20页 3.1.4 小节末尾这里的 i 和 j 后面应该有加号吧？

勘误

第19页的

𝑖𝑗𝑘𝑘=−𝑘（等式两边同时右乘以𝑖）

应该将括号里的改 𝑖 成 𝑘，因为上一行是

𝑖𝑗𝑘=−1

3.1.8 逆和转置

该节内容提到四元数的逆，以及通过四元数的共轭计算其逆的方法。其中的“转置”概念在该节是如何体现的，没有明白

P42 nlerp 的两个输入向量必须是单位向量，否则差值结果不会经过初始和最终向量

您好，关于p42中「nlerp 的两个输入向量必须是单位向量，否则差值结果不会经过初始和最终向量」这段话我有点疑问：
由nlerp公式

$$q_t=\frac{(1-t)q_{0} + tq_{1}}{||(1-t)q_0+tq_1||}$$

两边同乘v得到

$$v_t=\frac{(1-t)v_{0} + tv_{1}}{||(1-t)q_0+tq_1||}$$

而不是文档里的

$$v_t=\frac{(1-t)v_{0} + tv_{1}}{||(1-t)v_0+tv_1||}$$

也就是说，v0，v1是不是单位向量都可以 nlerp 差值，都会经过初始和最终向量（t=0或1时，分母是单位四元数的模，都是1）

13页的正交投影

quaternion.pdf第24页有一个错误

3.1.8最后一段文字中，”除以它的模⻓”应该为“除以它的模长的平方”。

第21页一个错误

第21页向量u和v的叉乘结果应该是
(ch-dg)i - (bh-df)j+(bg-cf)k
原文写成了
(ch-bg)i - (bh-df)j+(bg-cf)k

万向节死锁里面按照x-y-z的顺序旋转，考虑到绕x转的时候，y轴方向已经变了，怎么会出现x和z只是交换，仍构成同一平面的情况呢，如果同一平面成立，那y的方向肯定不变，考虑到y垂直于xz组成的平面

33页 Section3.4 第五行的typo

“q2的变换”中的2应为下标

关于 "3.1.6 Graßmann 积” 的一些愚见

Hello krasjet:

谢谢,你的教程.

但关于"3.1.6 Graßmann 积” 有一些愚见.
如下图这样子讲解, 初学者可能会更容易理解一点:

19页的一个小笔误-> 等式两边同时右乘以k

第七页有个笔误

错误：2 三维空间中的旋转

第十一页图示 旋转轴u 的方向错误

文档第二章关于旋转轴U的定义似乎有个小问题？

文档中12页提到如果u是一个单位向量，只要给定其中任意两个，就可以求出第三个。但此时第三维有似乎有正负两种可能？

28页，sin(θ)u × sin(θ)u=0是怎么推算出来的，我推了很多遍没有推算出来，似乎不能直接拿普通向量代入

第 3.1.5 四元数的乘法矩阵形式，左乘与又乘式子相同

39页 错别字

43页 概念疑似错误

从速度三角形上来看，沿直线(v0v1)的速度固定，在vt=0~0.5的过程中，合速度大小应该是逐渐减小的，后半段同理是逐渐加速的。如果以上理解没有问题的话，教程中这部分应该是搞反了。

Quaternion 2.3节中的问题

这个等式的第二行是怎么推出来的，能否细讲下或给个Reference，我代数没啥基础

v′⊥=v′𝑣+v′𝑤
   =cos(θ)v⊥+sin(θ)w
   =cos(θ)v⊥+sin(θ)(u×v⊥)

两个小笔误

1. “附录 1:四元数的指数映射”，p63
   展开RHS的时候，sin(theta)的展开式复制了cos(theta)的展开式，没有改过来。

2. 文中提到的“Graßmann 积”是不是“Grassmann 积”？在网上我没有查到前者，查到了后者。

34页 缩进错误

請問四元數一個證明q*q=qq*

因为 (q ∗ ) ∗ = [s, −(−v)] = [s, v] = q， q ∗ q = (q ∗ )(q ∗ ) ∗ = ∥q ∗ ∥ 2 = s 2 + x 2 + y 2 + z 2 = ∥q∥ 2 = qq∗ 所以我们得到，q ∗ q = qq∗．这个特殊的乘法是遵守交换律的．

請問為甚麼在q = (q ∗ )(q ∗ ) ∗ = ∥q ∗ ∥ 2
這裡的時候最後結果有一個共軛符號消失了

Graßmann 积

文章中页处，v·u与v×u这两个等式表达式的成立前提应该是ij=jk=ki=0，也就是传统上的三维坐标系三轴有的正交关系，但是四元数当中i,j,k不满足上述关系，为什么依然可以得到该结果？

第10页有一个错误

应为z2

请问单位四元数点乘等于其夹角的余弦值, 可以添加证明吗?

“因为 𝑞0 与 𝑞1 都是单位四元数，𝑞0 · 𝑞1 正好是这两个四元数在 4D 空间中夹 角的余弦值”, 这句在三维的情况下成立, 四维的情况, 是不是需要添加个证明?

谢谢!

18页 符号笔误

这里是不是计算有误啊，不太理解你书本上的那一段。

这个投影计算的方式有问题吧；

这个是书本上的内容

这个是我认为修改后的内容

勘误

四元树文档，第18页，3.1.4节：

如果是 𝑞1𝑞2，那么我们就说「𝑞2 左乘以 𝑞1」，如果是 𝑞2𝑞1，那我们就说「𝑞2 右乘以 𝑞1」．

左右乘的顺序是不是写反了？

29页Lemma2，v∥不是纯四元数也行吧？

首先阅读这本书真是非常感动愉快的体验，作者真的是用心了，太伟大了！
其次如标题所述，29页的Lemma2中，v∥是纯四元数似乎是多余的限制？如果是，不妨删掉
再次感谢作者^_^

想问一下方向余弦矩阵，坐标轴的转换为什么和单纯的向量旋转的矩阵不一样呢

主要想问一下您方向余弦矩阵，坐标轴的转换为什么和单纯的向量旋转的矩阵不一样呢

下面的附件是我结合我们的课程整理的笔记，我会在我的github上持续更新：https://github.com/Lovely-XPP/Notebook/笔记pdf 里面的航天器姿态动力学与控制.pdf。其中，我觉得向量和矩阵的转换有些部分比较奇怪，也想请教一下您帮忙看看有无错误，万分感谢！！

航天器姿态动力学与控制.pdf

勘误笔误 32页

32页3.3节下面第3行 “左乘一个四元数 𝑞 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑗”这句话，d后面应该乘的是k

3.1.4 四元数乘法 左乘和右乘的定义是否写反了？

如果是 𝑞1𝑞2，那么我们就说「𝑞2 左乘以 𝑞1」，如果是 𝑞2𝑞1，那我们就说「𝑞2 右乘以 𝑞1」．

这里𝑞1𝑞2 是否应该为「𝑞2 右乘以 𝑞1」 ？

7.3二重四元数是否能表示缩放

7.3在介绍二重四元数的时候有一句话，“除了普通的四元数之外，几何代数中还衍生出来了一个二重四元数(Dual Quater- nion).它不仅能够表示 3D 旋转，还能够表示平移和缩放”。
简单看了一些文档，用了glMatrix.js库做了简单实践，发现二重四元数并没有针对单轴缩放的能力，是否我没有找到正确的使用方法呢：）
另外，基于四元数插值的能力，二重四元数如果能整合旋转、平移、缩放为一体，在实践中应该是个蛮有用的技术，希望能多讲一讲，谢谢🙏

四元数转矩阵的公式是否有两种可能性

_第3.3小节得出的矩阵公式是{
{1 - 2y^2 - 2z^2, 2xy - 2wz, 2wy + 2xz},
{2xy + 2wz, 1 - 2x^2 - 2z^2, -2wx + 2yz},
{-2wy + 2xz, 2wx + 2yz, 1 - 2x^2 - 2y^2 }
}
不过在另一些文献和代码(gl-Matrix)里面看到的公式是{
{1 - 2y^2 - 2z^2, 2xy + 2wz, -2wy + 2xz},
{2xy - 2wz, 1 - 2x^2 - 2z^2, 2wx + 2yz},
{2wy + 2xz, -2wx + 2yz, 1 - 2x^2 - 2y^2 }
}
https://blog.csdn.net/loongkingwhat/article/details/88427828

是因为左手坐标和右手坐标的原因造成的吗？

计算机图形学新手，请指点，谢谢🙏

您好，我有一疑问，5.4节中双倍覆盖带来的问题，q1和-q1是同一个向量而图示中-q1和q1却是相反的向量，这样是不是有问题？应该描述为一个小于180度的角度和大于180度的角度是吗？

另p45中最下面公式，q0和q1的夹角是否应为$2\theta$呢？

文档笔误

有个小笔误
https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf文档中第23页
这一行
我们定义，一个四元数 𝑞 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑘 + 𝑑𝑗 的共轭为 𝑞∗ = 𝑎 − 𝑏𝑖 − 𝑐𝑗 − 𝑑k

第一个四元数q中c和d应该对应j和k，写反了

请问文中的插图用什么画的？

看起来插图都不是图片，请问怎么制作的？谢谢