Cuantiles (percentiles, cuartiles, mediana, etc.)
El término "cuantiles" refiere a la posición ocupada por un determinado velor
en un conjunto de datos ordenados. Algunos cuantiles en particular nos propor-
cionan información muy valiosa acerca de la distribución de nuestros datos.
Mediana
La Mediana es quizá el cuantil más importante en estadística, ya que se trata
del central de la distribución de un conjunto de datos. En una distribución
Normal o Gaussiana, la mediana va a presentar un valor muy similar al de la
media (promedio). Presenta, sin embargo, algunas características que lo hacen
particularmente útil al trabajar con datos.
La mediana, a diferencia de la media, es poco sensible a los valores
extremos.
Ej: considerando el siguiente vector
vec <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 21)
la media del mismo será:
mean (vec)
mientras que la mediana será:
median (vec)
Esta propiedad hace que en determinados casos la mediana represente una
aproximación más adecuada a la descripción de los datos.
En el caso en que la cantidad de elementos en nuestro conjunto de datos es
impar, la mediana es exactamente el valor central. Por el contrario, en caso
de que nuestro conjunto de datos tuviese una cantidad par de elementos,
vec <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 21, 22)
la mediana es el promedio de los dos valores centrales.
median (vec)
Hay al menos dos formas de obtener la mediana de un conjunto de datos en R.
La primera es utilizando la función "median", y la segunda es mediante la
función "quantile":
quantile (vec, prob = 0.5)
Cuartiles
De modo similar a como la mediana divide nuestros datos en sus dos mitades,
los cuartiles los dividen en 4 partes iguales. Podemos pensar en los cuartiles
como las medianas de los valores menores y mayores a la mediana de nuestros
datos, respectivamente.
median (vec [which (vec <= median (vec))]) # el primer cuartil
median (vec [which (vec >= median (vec))]) # el tercer cuartil
El segundo cuartil es sencillamente la mediana de nuestros datos.
Otra forma de obtener los cuartiles de nuestros datos es, también, mediante la
función "quantile", de la siguiente manera.
quantile (vec, prob = c(0.25, 0.5, 0.75))
Aunque si tenemos vectores con pocos datos y cantidad de elementos par, tal
vez no coincidan. Si redefinimos el primer vector que teníamos podremos ver
que esto se cumple:
vec <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 21)
median (vec [which (vec <= median (vec))]) # el primer cuartil
median (vec [which (vec >= median (vec))]) # el tercer cuartil
quantile (vec, prob = c(0.25, 0.5, 0.75))
Ahora sí. Obviamente cuanta mayor cantidad de datos tengamos, menores van a ser
este tipo de discrepancias (similar a lo que pasa con la media y la mediana).
Percentiles
Mediante la función "quantile" podemos encontrar el valor de cualquier combi-
nación de cuantiles, sean éstos cuartiles, quintiles
quantile (vec, prob = c(0.2, 0.4, 0.6, 0.8))
deciles
quantile (vec, prob = c(0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9))
o la combinación de percentiles que se nos ocurra.
Intervalos de confianza
Un ejemplo claro de aplicación estadística de los percentiles son los inter-
valos de confianza. Los intervalos de confianza nos indican en qué intervalo de
valores está una determinada cantidad de nuestras observaciones. Así, si
queremos saber entre qué valores encontramos el 95% de nuestros datos, sólo
tenemos que "recortar" a los datos 2.5% en cada extremo, o sea, los percentiles
#2.5 y 97.5
quantile (vec, prob = c(0.025, 0.975))
En distribuciones conocidas, los intervalos de confianza son funciones
de la media y el desvío de las mismas. Por ejemplo, si tomamos un conjunto
de datos que presentan distribución Normal con media en 0 y desvío 1
vec <- rnorm (1000, 0, 1)
teóricamente los valores de los intervalos de confianza del 95% nos van a dar
algo muy cercano a -1.96 y 1.96
quantile (vec, prob = c(0.025, 0.975)) # (redefinir varias veces "vec" y volver
a intentarlo, no da siempre lo mismo)
(Por cierto, vuelvan a calcular los cuartiles utilizando este "vec" con los dos
métodos: la diferencia es ahora menor).
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